>>Delta

数学

2007年11月 2日

数学

\lim_{N \to \infty} N^{2}\lim_{N \to \infty} 2^{N} の違いがよくわかりません。どちらも無限大に発散することはするんだけど、この2つが行き着く無限大の大きさが数学的には大違いだと聞きました。

イメージとして N2 の方は一辺が N の正方形の面積を表しているのに対して、 2N の方は、一辺2の四角い物体の次元が増加していくような意味になる。次元数を無限大にかっ飛ばしたときの箱の体積がどうなるかなんて言葉では言えてもイメージできません。

必要な計算回数が N2 オーダーのアルゴリズムはよくても、 2N オーダーのアルゴリズムは使い物にならないらしいんですが、何でかなと。

投稿者 CASPAR003
投稿時刻 20:29
カテゴリー 雑記
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記事へのリンク http://www.caspar003.info/delta/archive/2007/11/02/2029.html
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Nv

イメージとしては分かりませんが、lim{(2^N)/(N^2)}→∞に発散するのでlim(2^N)の無限大の方が「強い」と認識しています。

N=100の場合、N^2オーダーだと10,000回の計算で済みますが、2^Nオーダーだと10^30回の計算が必要です。例えば、Nは行列の大きさだったり、ポリゴン数だったりします。たった100点のために10^30回も計算しているのでは遅くて仕方ありません。

CASPAR003

N=100 でこんなに違うのか…。ありがとうございます。

2^N の方が発散がものっすごく速いですね。実際に代入して考えたりしなかったのでこんなに差が出るとは思いませんでした。確かに実用的じゃないですね。

Nv さんのコメントを読んでいたら、速い…、位置の微分は速度、その微分は加速度…。 2^N だと何回やっても正の微係数が出てくるぞ。という別のイメージが湧いてきて、ますます N^2 と 2^N はなんか違うらしい雰囲気を感じます。

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